Un exemple ràpid
de manera que per deduïm que…
Significat de tenir una matriu com a exponent
És defineix a partir de la sèrie de Taylor de la funció .
_to_raise_e_to_the_power_of_a_matrix_DE6.png%3Ftable%3Dblock%26id%3D452d08e0-eb7c-40b7-8495-45d3b5139b5b%26cache%3Dv2&w=3840&q=75)
Vídeo complet aquí.
I si volem fer enlloc de o qualsevol altre nombre?
Doncs recordem que si tenim per exemple la seva sèrie de Taylor serà la mateixa que posar a la sèrie de Taylor .
Pel cas de matrius seria equivalent a posar com a matriu en la expansió infinita (de manera que ).
Recordem que és una expansió infinita, així que no farem cap càlcul matricial sinó un límit analític.
Propietats
Si compleix alguna propietat recurrent al elevar-la a una potència potser podrem treure-la fora del cosinus i del sinus. Per exemple
tenim que
Un exemple en són les matrius de Pauli, ja que o .
Descomposició espectral
La descomposició espectral d’una matriu diagonalitzable és
Fixem-nos que una matriu diagonalitzable sempre compleix
I per tant
Cosa que implica que si , la seva matriu diagonalitzada serà del estil
I que per tant la descomposició espectral d’aquesta matriu es simplifica a
Cosa molt pràctica, ja que al ser els mateixos vectors propis, només hem de canviar els valors propis per calcular la matriu resultant de .
I al mateix temps si la matriu no està sola en l’exponent, segueix sent molt senzill
Física Quàntica i Física Estadística
Bla bla equació diferencial
On si fos un nombre real obtindríem com a solució , i en el cas de tenir una matriu, s’obté com a solució .
Un exemple molt clar és l’equació de Schrödinger
On és l’operador Hamiltonià, el qual és una matriu.
Un altre exemple molt clar és en física estadística. On el factor de Boltzmann és